Matemáticas/Sistemas de ecuacións/Problemas de sistemas de ecuacións

Ecuacións sinxelas

Problema 1

Calcular o valor de $x$ que satisfai a seguinte ecuación:

$(x-6{)}^3-8=19$

Resolución:

1. Súmase 8 a cada membro da ecuación.

   $(x-6{)}^3-8+8=19+8$

   $(x-6{)}^3=27$

2. Extráese a raíz cúbica de cada membro.

   $\sqrt[3]{(x-6{)}^3}=\sqrt[3]{27}$

   $x-6=3$

3. Súmase 6 a cada membro.

   $x=3+6$

Resultado:

$x=9$

Problema 2

Calcular o valor de $x$ que satisfai a seguinte ecuación:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{5}=\frac{1}{3}$

Resolución:

1. Réstase ⅕ de cada membro da ecuación.

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$

   $\frac{1}{x}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}$

   $\frac{1}{x}=\frac{2}{15}$

2. Multiplícase cada membro por $15x$.

   $\frac{1\times 15x}{x}=\frac{2\times 15x}{15}$

   $15=2\times x$

   $15=2x$

3. Divídese cada membro entre 2.

   $\frac{15}{2}=\frac{2x}{2}$

   $\frac{15}{2}=x$

Resultado:

$x=\frac{15}{2}$

Proporcionalidade

Problema 3

A intensidade da luz procedente dun foco puntual varía inversamente co cadrado da distancia ao foco. Se a 5 m do foco a intensidade é 3,20 W/m², canta será a 6 m del?

Resolución:

1. A ecuación que expresa o feito de que a intensidade varía inversamente co cadrado da distancia pode escribirse como:

   $I=\frac{k}{r^2}$

   Onde $k$ é unha certa constante de proporcionalidade.

2. Temos neste caso dúas ecuacións, nas que o único valor en común é $k$, e a incógnita a resolver é $I_2$ na segunda das ecuacións:

   $I_1=\frac{k}{r_1^2}$

   $I_2=\frac{k}{r_2^2}$

   Onde:

   • $I_1=3,20W/m^2$
   • $r_1=5m$
   • $r_2=6m$

3. Despéxase $k$ na primeira das ecuacións.

   $I\times r^2=k$

   $I_1\times r_1^2=k$

   $3,20\times 5^2=k$

   $3,20\times 25=k$

   $80=k$

4. Despéxase $I_2$ na segunda das ecuacións:

   $I_2\times r_2^2=k$

   $I_2\times 6^2=80$

   $I_2\times 36=80$

   $I_2=\frac{80}{36}$

Resultado:

$I_2=2,\overline{2}W/m^2$

Ecuacións lineais

Problema 4

Calcule os valores de $x$ e $y$ que satisfán de maneira simultánea as dúas seguintes ecuacións:

$x+y=5$

$-\frac{1}{2}x+y=2$

Información:

A imaxe da dereita mostra as dúas ecuacións nun mesmo gráfico. No punto en que se cortan, os calores de $x$ e $y$ satisfán as dúas ecuacións ao mesmo tempo.

Pódense resolver dúas ecuacións simultáneas despexando primeiro nunha delas unha das variables en función da outra, e substituíndo logo o resultado na outra ecuación.

Resolución:

1. Despéxase $y$ na primeira das ecuacións:

   $y=-x+5$

2. Substitúese o valor de $y$ na segunda ecuación, e despéxase o valor de $x$:

   $-\frac{1}{2}x+(-x+5)=2$

   $-\frac{1}{2}x-x+5=2$

   $-\frac{3}{2}x=2-5$

   $-\frac{3}{2}x=-3$

   $\frac{3}{2}x=3$

   $\frac{3x}{2}=\frac{6}{2}$

   $3x=6$

   $x=\frac{6}{3}$

   $x=2$

3. Unha vez calculado o valor de $x$, substitúese $x$ polo seu valor real en calquera das dúas ecuacións para obter o valor de $y$:

   $2+y=5$

   $y=5-2$

   $y=3$

Resultado:

$x=2$

$y=3$