Álxebra Lineal: Produto interno

Modelo:Álxebra
En Álxebra Lineal, chamamos produto interno a unha función de dous vectores que satisfai determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definición

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre un corpo ‘‘‘K’‘‘. En ‘‘‘V’‘‘, pódese definir a función binaria $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to K$ (denominada ‘‘‘produto interno’‘‘), que satisfai os seguintes axiomas:

$⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$

$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$

$⟨\lambda u,v⟩=\lambda ⟨u,v⟩$

Se $v\ne 0$, entón $⟨v,v⟩$> $0$

en que ‘‘u’‘, ‘‘v’‘ e ‘‘w’‘ son vectores de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘λ’‘ é un elemento de ‘‘‘K’‘‘.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

$⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$

$⟨u,\lambda v⟩=\bar{\lambda }⟨u,v⟩$

Se $v=0$, entón $⟨v,v⟩=0$

Se $⟨v,v⟩=0$, entón $v=0$

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial ${ℝ}^3$ satisfai os axiomas do produto interno e defínese por:

$⟨(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)⟩=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$

Se ‘‘f’‘ e ‘‘g’‘ son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

$⟨f,g⟩=\int f(x)\overline{g(x)}dx$

Vetores ortogonais

Dise que dous vectores $u,v\in V$ son ‘‘‘ortogonais’‘‘ se $⟨u,v⟩=0$.

Consecuencias:

Se $⟨u,v⟩=0,\mathrm{\forall }v\in V$, entón $u=0$

Se $⟨T(u),v⟩=0,\mathrm{\forall }u,v\in V$, entón $T=0$

Complemento ortogonal

Sexa $v\in V,v\ne 0$

Defínese o complemento ortogonal de ‘‘v’‘, $v^{\perp }$, como:

$v^{\perp }=\{v{\}}^{\perp }=\{u\in V|⟨u,v⟩=0\}.$

Consecuencias:

$v^{\perp }$ é un subespazo vectorial de V

Sexa $W$ un subespazo vectorial de V, e $\alpha =\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ unha base de $W$. $v\in W^{\perp }⟺v\in v_i^{\perp },i=1,\dots ,n$

$(W^{\perp }{)}^{\perp }=W$, W é subespazo de V.

Norma

Sexa ‘‘V’‘ un espazo vectorial sobre o corpo ‘‘K’‘, con produto interno. Defínese a ‘‘‘norma’‘‘ ou ‘‘‘lonxitude’‘‘ dun vector $v\in V$ como sendo o número $\sqrt{⟨v,v⟩}$, que indicamos por $|v|$.

Consecuencias:

$|v|=0⟺v=0$

Se $v\ne 0$, entón $|v|>0$

$|\lambda v|=|\lambda ||v|,\mathrm{\forall }\lambda \in K,v\in V$

Se $⟨u,v⟩=0$, entón $|u+v{|}^2=|u{|}^2+|v{|}^2$ (Teorema de Pitágoras)

Proxeción ortogonal

Proxeción dun vector v na dirección dun vector u, en que u ≠ 0

Defínese ‘‘‘esa’‘‘ proxeción como sendo o vector

${\text{prox}}_{u}v=\frac{⟨v,u⟩}{⟨u,u⟩}\cdot u$

Proxeción dun vector ‘‘v’‘ sobre un subespazo vectorial ‘‘W’‘ de ‘‘V’‘

Sexa $W=[u_1,u_2]$, en que $\{u_1,u_2\}$ é unha base ortogonal de ‘‘W’‘.

${\text{prox}}_{W}v={\text{prox}}_{u_1}v+{\text{prox}}_{u_2}v$

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Dados $u,v\in V$, entón $|⟨u,v⟩|\le |u|\cdot |v|$

Desigualdade triangular

$|u+v|\le |u|+|v|,\mathrm{\forall }u,v\in V$

Base ortogonal e ortonormal

Unha base $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ de V é dita ortonormal se $⟨v_i,v_x⟩=\delta ix$, en que

$\delta ix=1$, se i = x

$\delta ix=0$, se i ≠ x

A base é ortogonal se os vectores son ortogonais dous a dous.

Propiedade: ‘‘n’‘ vectores non-nulos e ortogonais dous a dous, nun espazo de dimensión ‘‘n’‘, son linearmente independentes.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

Dada unha base $\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ de V, podemos atopar, a partir desta base, unha base ortogonal $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ de V.

$u_i=v_i-\sum _{k=1}^{i-1}\frac{⟨v_i,u_k⟩}{⟨u_k,u_k⟩}{u}_k$

Distancia entre dous vectores

Defínese a distancia entre dous vectores calquera, ‘‘u’‘ e ‘‘v’‘, como sendo $d(u,v)=|u-v|$

Unha función distancia ten as seguintes propiedades:

Fallou a conversión do código (descoñécese a función "\xe"): {\displaystyle d(u, v) \xe 0}

$d(u,v)=0\iff u=v$

$d(u,v)=d(v,u)$

$d(u,v)\le d(u,w)+d(w,v)$

Tales propiedades poden ser facilmente verificadas pola definición de norma.

Mellor aproximación dun vector v de V por un vector de W, subespazo vectorial de V

Se $d(v,u)\le d(v,u^{\prime }),\mathrm{\forall }{u}^{\prime }\in W$, entón u é o vector de W que dá a aproximación máis adecuada de v por un vector de W.

Demostrase que $u=pro{x}_{W}v$ Modelo:Álxebra