Álxebra Lineal: Operadores especiais

Modelo:Álxebra

Operadores especiais

• Auto-adxunto ($T^{*}=T$)
• Unitario ($T^{*}=T^{-1}$)
• Normal ($T^{*}T=T{T}^{*}$)

Operador auto-adxunto

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\to V$ chámase auto-adxunto se $T^{*}=T$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é auto-adxunta se $\stackrel{t}{\stackrel{‾}{A}}=A$.

• Se $K=R$, $[T{]}_{\alpha }$ chámase simétrica.
• Se $K=C$, $[T{]}_{\alpha }$ chámase hermitiana.

Os seguintes enunciados son útiles na proba de teoremas do operador auto-adxunto:

Se $⟨T(u),v⟩=0,\mathrm{\forall }u,v\in V$, entón $T=0$.

Se ‘‘‘V’‘‘ é complexo e $⟨T(u),u⟩=0,\mathrm{\forall }u\in V$, entón $T=0$.

‘‘‘Prove’‘‘:

• Se $T^{*}=T$ e $⟨T(u),u⟩=0,\mathrm{\forall }u\in V$, entón $T=0$.
• Sexa $T:V\to V$, con ‘‘‘V’‘‘ complexo. Entón $T^{*}=T⟺⟨T(v),v⟩\in R$.

Operador unitario

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\to V$ chámase unitario se $T^{*}=T^{-1}$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é unitaria se ${\bar{A}}^t=A^{-1}$

‘‘‘Demostración’‘‘:

• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $⟺⟨T(u),T(v)⟩=⟨u,v⟩$ (‘‘‘T’‘‘ preserva o produto interno)
• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $⟺|T(u)|=|u|$ (‘‘‘T’‘‘ preserva a norma)
• ‘‘‘T’‘‘ é unitario $⟺T^{-1}$ é unitario

Operador normal

‘‘‘Definición’‘‘: $T:V\to V$ chámase normal se $T{T}^{*}=T^{*}T$.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é normal se $A{A}^{*}=A^{*}A$

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Todo operador auto-adxunto é normal
• Todo operador unitario é normal

É importante salientar, aínda, que existen operadores normais que non son unitarios nin auto-adxuntos.

Subespazo invariante

‘‘‘Definición’‘‘: ‘‘‘W’‘‘, subespazo vectorial de ‘‘‘V’‘‘, é dito invariante baixo o operador $T:V\to V$, se $T(W)\subset W$. Dicimos tamén que ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante).

‘‘‘Demostración’‘‘:

• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante, entón $W^{\perp }$ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{*}$-invariante.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón $T(W)=W$.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{-1}$-invariante e $T^{-1}(W)=W$.
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón ‘‘‘W’‘‘ é $T^{-1}$-invariante (ou $T^{*}$-invariante).
• Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón $W^{\perp }$ é ‘‘‘T’‘‘-invariante.