Álxebra Lineal: Funcionais lineais

Modelo:Álxebra

Funcionais Lineais

‘‘‘Definición’‘‘: Unha función $f:V\to K$, onde V é un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, chámase funcional lineal se, $\mathrm{\forall }u,v\in V$ e $\mathrm{\forall }\lambda \in K$:

$f(u+v)=f(u)+f(v)$

$f(\lambda v)=\lambda f(v)$

‘‘‘Teorema da existencia e unicidade’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial de dimensión ‘‘n’‘ e $\alpha =\{v_1,v_2,\dots ,v_n\}$ é unha base de ‘‘‘V’‘‘, entón existe un único funcional ‘‘f’‘, tal que $f(v_i)={\lambda }_i,i=1,2,\dots ,n,{\lambda }_i\in K$

‘‘‘Teorema da base dual’‘‘: Se ‘‘‘V’‘‘ é un espazo vectorial, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}V=n$ e $\beta =\{v_1,v_2,\dots ,v_3\}$ é unha base de V, entón existe unha única base ${\beta }^{*}=\{f_1,f_2,\dots ,f_n\}$ de $V^{*}$ tal que $f_i(v_x)={\delta }_{ix}$

‘‘‘Definicións’‘‘:

${\beta }^{*}$ chámase base dual de $\beta$

$V^{*}$ chámase espazo dual de V

‘‘‘Corolarios’‘‘:

$f=\sum f(v_i)f_i$

$v=\sum f_i(v)v_i$

Teorema de representación dos funcionais lineares

Sexan ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}V=n$, con produto interno, e $f:V\to K$ un funcional lineal. Entón existe un único vector $v_o\in V$, tal que $f(v)=⟨v,v_o⟩$, $\mathrm{\forall }v\in V$.

Demostrase aínda que $v_o=\sum \overline{f(e_i)}{e}_i$

---++ Adxunta dun operador lineal

Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial.

O operador adxunto, $T^{*}:V\to V$, dun determinado operador lineal $T:V\to V$ defínese pola igualdade:

$⟨T(u),v⟩=⟨u,T^{*}(v)⟩,\mathrm{\forall }u,v\in V$

Demóstrase que todo operador lineal posúe un e apenas un operador adxunto correspondente.

A partir da definición, podemos obter as seguintes consecuencias:

$(S+T{)}^{*}=S^{*}+T^{*}$

$(\lambda T{)}^{*}=\overline{\lambda }{T}^{*}$

$(S\circ T{)}^{*}=T^{*}\circ S^{*}$

‘‘‘Proposición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}V=n$, con produto interno. Sexa $\alpha =\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ unha base ortonormal de ‘‘‘V’‘‘. Entón $[T{]}_{\alpha }=(a_{ix})$, onde $a_{ix}=⟨T(e_x),e_i⟩$

‘‘‘Corolario’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre ‘‘‘K’‘‘, $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}V=n$, con produto interno. Entón, para calquera base $\alpha =\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$ ortonormal de ‘‘‘V’‘‘, temos que a matriz $[T^{*}{]}_{\alpha }=(\overline{[T{]}_{\alpha }}{)}^t$. Modelo:Álxebra