Ver o código fonte de «Álxebra Lineal: Operadores especiais»

{{Template:Álxebra}}
<br clear="both">
==Operadores especiais==

* Auto-adxunto (<math>T^* = T</math>)
* Unitario (<math>T^* = T^{-1}</math>)
* Normal (<math>T^*T = TT^*</math>)

==Operador auto-adxunto==

‘‘‘Definición’‘‘: <math>T: V \rightarrow V</math> chámase auto-adxunto se <math>T^* = T</math>.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é auto-adxunta se <math>\overline{A}^t = A</math>.

* Se <math>K = R</math>, <math>[T]_\alpha</math> chámase simétrica.
* Se <math>K = C</math>, <math>[T]_\alpha</math> chámase hermitiana.

Os seguintes enunciados son útiles na proba de teoremas do operador auto-adxunto:

: Se <math>\langle T(u), v \rangle = 0, \forall u, v \in V</math>, entón <math>T = 0</math>.
: Se ‘‘‘V’‘‘ é complexo e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, entón <math>T = 0</math>.

‘‘‘Prove’‘‘:

* Se <math>T^* = T</math> e <math>\langle T(u), u \rangle = 0, \forall u \in V</math>, entón <math>T = 0</math>.
* Sexa <math>T: V \rightarrow V</math>, con ‘‘‘V’‘‘ complexo. Entón <math>T^* = T \iff \langle T(v), v \rangle \in R</math>.

==Operador unitario==

‘‘‘Definición’‘‘: <math>T: V \rightarrow V</math> chámase unitario se <math>T^* = T^{-1}</math>.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é unitaria se <math>{\overline{A}}^t = A^{-1}</math>


‘‘‘Demostración’‘‘:

* ‘‘‘T’‘‘ é unitario <math>\iff \langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle</math> (‘‘‘T’‘‘ preserva o produto interno)
* ‘‘‘T’‘‘ é unitario <math>\iff |T(u)| = |u|</math> (‘‘‘T’‘‘ preserva a norma)
* ‘‘‘T’‘‘ é unitario <math>\iff T^{-1}</math> é unitario

==Operador normal==

‘‘‘Definición’‘‘: <math>T: V \rightarrow V</math> chámase normal se <math>TT^* = T^*T</math>.

Unha matriz ‘‘‘A’‘‘ é normal se <math>AA^* = A^*A</math>

‘‘‘Demostración’‘‘:

* Todo operador auto-adxunto é normal
* Todo operador unitario é normal

É importante salientar, aínda, que existen operadores normais que non son unitarios nin auto-adxuntos.

==Subespazo invariante==

‘‘‘Definición’‘‘: ‘‘‘W’‘‘, subespazo vectorial de ‘‘‘V’‘‘, é dito invariante baixo o operador <math>T: V \rightarrow V</math>, se <math>T(W) \subset W</math>. Dicimos tamén que ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante).

‘‘‘Demostración’‘‘:

* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante, entón <math>W^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto, entón ‘‘‘W’‘‘ é <math>T^*</math>-invariante.
* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón <math>T(W) = W</math>.
* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é inversíbel, entón ‘‘‘W’‘‘ é <math>T^{-1}</math>-invariante e <math>T^{-1}(W) = W</math>.
* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón ‘‘‘W’‘‘ é <math>T^{-1}</math>-invariante (ou <math>T^*</math>-invariante).
* Se ‘‘‘W’‘‘ é ‘‘‘T’‘‘-invariante e ‘‘‘T’‘‘ é unitario, entón <math>W^\perp</math> é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
{{Template:Álxebra}}

[[Categoría:Álxebra lineal]]