Ver o código fonte de «Álxebra Lineal: Autovalores e autovectores»

{{Template:Álxebra}}
<br clear="both">
==Autovetores e autovalores==

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘V’‘‘ un espazo vectorial sobre K. Un vector non nulo do
espazo vectorial ‘‘‘V’‘‘ é dito un autovector de ‘‘‘T’‘‘ se existir un
<math>\lambda \in K</math> tal que <math>T(v) = \lambda v</math>. Neste caso, <math>\lambda</math>
é dito autovalor de T.

‘‘‘Demostración’‘‘:

* Se ‘‘‘v’‘‘ é un autovector de T asociado ao autovalor <math>\lambda</math>, entón <math>av \, (a \in K)</math> tamén é un autovector asociado a <math>\lambda</math>.
* O conxunto <math>V_\lambda = \{ v \in V | T(v) = \lambda v \}</math> é un subespazo vectorial de V (chámase de autoespazo). Note que <math>V_\lambda</math> é o conxunto de todos os autovectores asociados a <math>\lambda</math> unido ao vector nulo.

==Autovetores dunha matriz pistada==

‘‘‘Definición’‘‘: Un autovalor dunha matriz <math>A_{n\times n}</math> é un escalar
<math>\lambda \in K</math>  tal que existe un vector ‘‘‘X’‘‘, con <math>AX = \lambda X</math>,
onde X se chama autovector de A asociado a <math>\lambda</math>.

<math>X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}</math>

==Polinomio característico==

‘‘‘Definición’‘‘: Sexa ‘‘‘A’‘‘ unha matriz pistada de orde ‘‘‘n’‘‘.
O polinomio <math>p(\lambda) = det(A - \lambda I)</math> chámase
polinomio característico de ‘‘‘A’‘‘.

‘‘‘Demostración’‘‘:

* Sexa <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> unha base de ‘‘‘V’‘‘, e ‘‘‘v’‘‘ un autovector de ‘‘‘T’‘‘ asociado ao autovalor <math>\lambda</math>. Entón <math>v]_\alpha</math> é un autovector da matriz <math> [T]_\alpha</math> asociado ao autovalor <math>\lambda</math> de <math> [T]_\alpha</math>
* Se <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> son dúas bases calquera de ‘‘‘V’‘‘, entón o polinomio característico de <math> [T]_\alpha</math> é igual ao polinomio característico de <math> [T]_\beta</math>.

==Operador diagonalizábel==

‘‘‘Definición’‘‘: Un operador ‘‘‘T’‘‘ considérase ‘‘diagonalizábel’‘ se existe unha base
<math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> de ‘‘‘V’‘‘ tal que <math>[T]_\alpha</math> é unha
matriz diagonal.

‘‘‘Definición’‘‘: Dúas matrices pistadas de mesma orde, ‘‘‘A’‘‘ e ‘‘‘B’‘‘, son ditas
‘‘semellantes’‘ se existir unha matriz ‘‘‘P’‘‘, de mesma orde, inversíbel, tal que
<math>B = P^{-1}AP</math>.

‘‘‘Definición’‘‘: Unha matriz <math>A_n</math> é considerada ‘‘diagonalizábel’‘ se <math>A_n</math> fose
semellante a unha matriz diagonal ‘‘‘D’‘‘ (ou sexa, existe unha matriz P, 
inversíbel, tal que <math>D = P^{-1}AP</math>).

‘‘‘Demostración’‘‘:

* Se <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados, respectivamente, aos autovectores <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> tales que <math>\lambda_i \ne \lambda_x</math> se <math>i \ne x</math>, entón <math>\alpha</math> é LI.
* Sexa <math>\alpha = \{v_1, \ldots, v_n\}</math> unha base de V. A matriz <math>[T]_\alpha</math> é diagonal <math>\iff \alpha</math> é unha base de ‘‘‘V’‘‘ formada por autovectores de ‘‘‘T’‘‘
* Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e <math>\lambda</math> é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón <math>\lambda \in R</math>.
* Se ‘‘‘T’‘‘ é auto-adxunto e <math>v_1, \ldots, v_n</math> son autovectores de ‘‘‘T’‘‘ asociados aos autovalores <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> (distintos), respectivamente, entón <math>v_i \perp v_x</math>, se <math>i \ne x</math>.
* Se ‘‘‘T’‘‘ é unitario e <math>\lambda</math> é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón <math>|\lambda| = 1</math>.
* Se <math>\lambda</math> é un autovalor de ‘‘‘T’‘‘ e ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón <math>\overline{\lambda}</math> é autovalor de <math>T^*</math>.
* <math>V_\lambda</math> é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
* <math>V_\lambda^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se ‘‘‘T’‘‘ é normal e <math>\lambda</math> é autovalor de ‘‘‘T’‘‘, entón <math>V^\perp</math> é <math>T^*</math>-invariante.
* Se ‘‘‘T’‘‘ é normal, entón <math>V_\lambda^\perp</math> é ‘‘‘T’‘‘-invariante.
{{Template:Álxebra}}

[[Categoría:Álxebra lineal]]